連立一次方程式を解く方法

一次方程式は、線をグラフ化する方程式です。線形方程式のシステムは、2つ以上の線形方程式がグループ化されている場合です。

説明を簡単にするために、2つの方程式のシステムを検討します。名前が示すように、2つの未知の変数があります。多くの場合、それらは文字xおよびyで示されます。方程式が何らかのプロセスを説明している場合、文字はそれらが果たす役割によって選択できます。たとえば、dは距離を表し、tは時間を表します。

この記事では、2つの楽しい方法を使用して連立一次方程式を解く方法を学習します。しかし、始める前に、実際の例を見て、特定のシステムがどのように完成するかを見てみましょう。

システムの導出

男の子が自転車に乗って学校に通い始めます。彼は毎分200ヤード乗ります。

6分後、母親は息子が昼食を忘れたことに気づきました。彼女は自分の自転車に乗り、男の子を追いかけ始めます。彼女は毎分500ヤードの距離を走ります(彼女はオリンピック選手であり、金メダリストです)。

私たちは、母親が男の子に追いつくのにどれくらいの時間がかかるか、そしてそうするために母親がどこまで乗る必要があるかを把握したいと思います。

少年は毎分200ヤードをカバーするので、t分で彼は200倍のtヤード、つまり200tヤードをカバーします。

彼の母親は6分後に自転車に乗り始めたので、彼女は(t-6)分間自転車に乗ります。彼女は毎分500ヤードをカバーするので、(t-6)分で500(t-6)ヤード、つまり500(t-6)ヤードをカバーします。

彼女が彼に追いつくまでに、彼らは両方とも同じ距離をカバーしました。今のところ、距離がdであるとしましょう。

男の子の場合は  d = 200t、母親の場合はd = 500(t-6)です。これで、2つの方程式のシステムができました。

方程式がシステムを形成することを示すために、中括弧が追加されることがよくあります。

では、このシステムをどのように解決できるか見てみましょう。

置換による解決

検討する最初の方法は、置換を使用します。

ここには、dtの2つの未知数があります。アイデアは、他の変数を使用して表現することにより、1つの変数を取り除くことです。

上の式はd = 200tであることを示しているので、下の式のd200tを接続してみましょう。その結果、t変数のみを含む方程式が得られます。

まず、右側を展開します:500(t -6)= 500t-500 * 6 = 500t-3000

次に、未知のメンバーを一方の側に移動し、既知のメンバーをもう一方の側に移動することによって単純化します。結果は次のとおりです。500t-200t= 3000

解くトンは、私たちを与えるトン= 10、または我々は、分単位で時間を計測するので、T = 10分。言い換えれば、母親は10分で息子に追いつくでしょう。

私たちの問題の2番目の部分は、彼女が彼に追いつくためにどこまで自転車に乗らなければならなかったかを見つけることです。

その質問に答えるには、dを見つける必要があります。いずれかの方程式にt = 10を代入すると、その答えが得られます。

簡単にするために、上のd = 200t = 200 * 10 = 2000を使用します。距離をヤードで測定するため、d = 2000ヤードです。

これまでの理解をテストしてみましょう–次のシステムを自分で解決してみてください。

{{

y = 2x

y = 3(x-​​1)

1つの答えを選択してください


x = 3およびy = 6
x = 1およびy = 2
x = 6およびy = 3
x = 1/2およびy = 2/3
参加する

上記のシステムでは、未知の変数はxyです。

上の式から、y = 2xであることがわかります。これを下の式に代入すると、2(2x)= 3(x + 1)が得られます。

拡張して単純化すると、4x = 3x +3になります。またはx = 3。したがって、y = 2 * 3 = 6です。

グラフ化による解決

検討する2番目の方法は、グラフを使用します。ここで、連立方程式をグラフ化して解を求めます。

たとえば、次のシステムを考えてみましょう:y = 2x +3およびy = 9-x

各方程式のグラフは線になります。y = 2x +3の最初のものは次のようになります。  

次に、y = 9-xの線をグラフ化できます:  

これらの2本のは正確に1点で交差します。この点は、両方の方程式の唯一の解決策です。

順序対(2、7)は、交点の座標を示します。このペアは、システムのソリューションです。x = 2y = 7を代入すると、これを確認できます。

グラフが平行で、まったく交差しない場合はどうなりますか?例えば:

方程式のグラフが交差しない場合、それは私たちのシステムに解がないことを意味します。代用で解決しようとすると、それが証明されます。

結果X - 1 = X - 3あろう0 = -2であり、常に

しかし、2つのグラフが同じで、互いに直接重なっている場合はどうなるでしょうか。

このような場合、交点は無限にあります。つまり、私たちのシステムには無限の数のソリューションがあります。置換法を使用すると、それが証明されます。

x-2 = x-2の結果は0 = 0であり、これは常に真です。

もっと練習

次のシステムを解決するには、置換とグラフの両方の方法を使用してみてください。これらの方法は互いに補完し合い、知識を固めるのに役立ちます。

{{

y = 2

3y-2x = 4

1つの答えを選択してください


システムには解決策がありません
x = 1/2およびy = 1
x = 1およびy = 2
x = 0およびy = 2
参加する

置換に使用する特定の変数を選択すると、解決策を見つけやすくなります。

上の方程式で他の2つのメンバーを使用してxを表現し、その結果を下の方程式に代入してみてください。そうすれば、分数の処理を回避できます。

{{

x + 5y = 7

3x-2y = 4

1つの答えを選択してください


x = 5およびy = 5/2
x = 1およびy = 2
x = 1およびy = 1
x = 2およびy = 1
参加する

もう1つ挑戦しましょう:

{{

-6x-8y = 4

y = -x-1

1つの答えを選択してください


x = -2およびy = 1
無限の数のソリューション
x = 2およびy = -1
x = -1 / 6およびy = 6
参加する

置換とグラフ化について十分に理解したので、そこに出て、より多くの一次方程式を解きます。