例で説明されたオイラー法

オイラー法とは何ですか?

オイラー法は、与えられた初期値で常微分方程式(ODE)を解くための1次数値手順です。

一般的な初期値問題

方法論

オイラー法は、単純な式を使用します。

点で接線を作成し、xの値を取得しますy(x+h)。その勾配は、

オイラー法では、のステップで、各区間の接線によって(つまり、一連の短い線分によって)解の曲線を近似できますh

一般に、小さいステップサイズを使用すると、近似の精度が向上します。

一般式

任意の時点bでの機能値。y(b)

どこ、

  • n =ステップ数
  • h =間隔幅(各ステップのサイズ)

擬似コード

y(1)与えられた検索

解析的に解くと、解はy = exおよびy(1)=2.71828です。(注:この分析ソリューションは、精度を比較するためだけのものです。)

オイラー法を使用して、考慮h= 0.20.10.01、あなたは、次の図に結果を見ることができます。

場合h= 0.2y(1)= 2.48832(誤差= 8.46パーセント)

場合h= 0.1y(1)= 2.59374(誤差= 4.58パーセント)

場合h= 0.01y(1)= 2.70481(誤差= 0.50%)

ステップが小さいと精度がどのように向上するかがわかります。