ブール代数の真理値表のチュートリアル– XOR、NOR、および論理記号の説明

私たちは皆、コンピューターが大好きです。彼らはとても多くの驚くべきことをすることができます。数十年以内に、コンピューターは人間の生活のほぼすべての側面に完全に革命をもたらしました。

ゼロと1を反転するだけで、さまざまな程度の洗練されたタスクを実行できます。このような単純なアクションがいかに複雑になるかを見るのは注目に値します。

しかし、数字をランダムに反転させるだけでは、そのような複雑さを(実際には)達成できないことを皆さんはご存知だと思います。その背後には確かにいくつかの理由があります。これを行う方法を管理するルールがあります。この記事では、これらのルールについて説明し、それらがコンピューターの「考え方」をどのように支配するかを見ていきます。

ブール代数とは何ですか?

私が上で述べた規則は、ブール代数と呼ばれる数学の分野によって記述されています。

1854年の著書で、英国の数学者ジョージブールは、真理値を操作するための体系的な一連の規則を提案しました。これらの規則は、論理的命題を扱うための数学的基礎を与えました。これらの基礎のセットは、ブール代数の開発につながりました。

ブール代数を最もよく理解するには、まずブール代数と他の形式の代数の類似点と相違点を理解する必要があります。

代数は、一般に、数学記号の研究と、これらの記号に対して実行できる操作を扱います。

これらの記号には、それ自体の意味はありません。それらは他の量を表しています。これらのシンボルに何らかの価値を与えるのはこの量であり、操作が実際に実行されているのはこの量です。

ブール代数は、記号とこれらの記号の操作を管理する規則も扱いますが、違いはこれらの記号が何を表すかにあります。

通常の代数の場合、記号は実数を表しますが、ブール代数では真理値を表します。

以下の画像は、実数のセット全体を示しています。実数のセットには、自然数(1、2、3、4 ....)、整数(すべての自然数と0)、整数(.....- 2、-1、0、1、 2、3 ...)など。常微分方程式は、この数のセット全体を扱います。

比較すると、真理値は、FalseとTrueの2つの値のセットのみで構成されます。ここで、これらの値を表すために他の記号を使用できるという事実を指摘したいと思います。

たとえば、コンピュータサイエンスでは、ほとんどの場合、これらの値を0と1を使用して表します。0はFalseに使用され、1はTrueに使用されます。

Cats andDogsやBananasand Orangesなどの他の記号で真理値を表すことで、より凝った方法でそれを行うこともできます。

ここでのポイントは、これらのシンボルの内部的な意味は、使用するシンボルに関係なく同じままであるということです。ただし、操作の実行中に記号を変更しないように注意してください。

ここで問題となるのは、(TrueとFalse)、(0と1)が単なる表現である場合、彼らが表現しようとしているのは何でしょうか。

真理値の背後にある根本的な意味は、命題が「真」か「偽」かを判断するために真理値が使用される論理の分野に由来します。ここで、真理値は、命題と真理の関係、つまり、命題が真であるか偽であるかを表します。

命題は「猫はみんなかわいい」みたいな言葉です。

上記の命題が真の場合は、「True」または「1」の真理値を割り当てます。それ以外の場合は、「False」または「0」を割り当てます。

デジタルエレクトロニクスでは、真理値は電子回路の「オン」と「オフ」の状態を表すために使用されます。これについては、この記事の後半で詳しく説明します。

ブール演算と真理値表

通常の代数と同様に、ブール代数にもいくつかの結果を得るために値に適用できる演算があります。これらの演算は通常の代数の演算とは異なりますが、前述のように、ブール代数は実数ではなく真理値で機能するためです。

ブール代数には3つの基本的な操作があります。

OR:またとして知られている論理和。この操作は、2つのブール変数に対して実行されます。OR演算の出力は、両方のオペランドが0の場合は0になり、それ以外の場合は1になります。

この操作が何をするのかをより明確に把握するために、以下の真理値表を使用して視覚化できます。

Truth tables give us an insightful representation of what the Boolean operations do and they also act as a handy tool for performing Boolean operations. OR Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

AND接続詞とも呼ばれます。この操作は、2つのブール変数に対して実行されます。AND演算の出力は、両方のオペランドが1の場合は1になり、それ以外の場合は0になります。真理値表の表現は次のとおりです。

 AND Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

NOT否定とも呼ばれます。この操作は、1つの変数に対してのみ実行されます。変数の値が1の場合、この操作は単純に0に変換し、変数の値が0の場合、1に変換します。

 Not Operation Variable-1 Output 0 1 1 0 

ブール代数とデジタル回路

最初の開発後、ブール代数は、非常に長い間、数学におけるそれらの概念の1つであり、重要な実用的なアプリケーションはありませんでした。

In the 1930s, Claude Shannon, an American Mathematician, realised that Boolean Algebra could be used in circuits where the binary variables could represent the "low" and "high" voltage signals or "on" and "off" states.

This simple idea of making circuits with the help of Boolean Algebra led to the development of Digital Electronics which contributed heavily in the development of circuits for computers.

Digital Circuits implement Boolean Algebra with the help of Logic Gates. Logic Gates are the circuits which represent a boolean operation. For example an OR gate will represent an OR operation. The same goes for NOT and AND gates as well.

Alongside the basic logic gates we also have logic gates that can be created using the combination of the basic logic gates.

NAND: NAND gate is formed by a combination of the NOT and AND gates. NAND gate gives an output of 0 if both inputs are 1, otherwise 1.

NAND gate holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NAND gates only.

 NAND Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

NOR: NOR gate is formed by a combination of NOT and OR gates. NOR gate gives an output of 1 if both inputs are 0, otherwise 0.

NOR gate, just like NAND gate, holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NOR gates only.

 NOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Most digital circuits are built using NAND or NOR gates because of their functional completeness property and also because they are easy to fabricate.

Other than the above mentioned gates we also have some special kind of gates which serve some specific purpose. These are as follows:

XOR: XOR gate or Exclusive-OR gate is a special type of logic gate which gives 0 as output if both of the inputs are either 0 or 1, otherwise it gives 1.

 XOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

XNOR: XNOR gate or Exclusive-NOR gate is a special type of logic gate which gives 1 as output when both the inputs are either 0 or 1, otherwise it gives 0.

 XNOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Conclusion

So, with all that we can now conclude our discussion on Boolean Algebra here. I hope by now you have a decent picture of what Boolean Algebra is all about.

This is definitely not all you need to know about Boolean Algebra. Boolean Algebra has a lot of concepts and details that we were not able to discuss in this article.