順列と組み合わせ:数式の例で説明される違い

順列と組み合わせは、コンピュータープログラミングから確率論、遺伝学まで、非常に多くのアプリケーションで非常に役立ちます。

これらの2つの概念を並べて紹介し、それらがどれほど役立つかを確認します。

これら2つの概念の主な違いは、順序付けです。では順列、あなたがに焦点を当てリストの順序は重要要素の。

たとえば、私は1977年に生まれました。これは、1番、9番、7番、7番の順です。その特定の順序で。

代わりに注文を7917に変更すると、まったく別の年になります。したがって、順序は重要です。

組み合わせ一方、焦点は、上にあるグループの順序はない要素のない問題では。

私のコーヒーのように、コーヒー砂糖水を組み合わせたものです。これらの材料をどの順序で追加するかは関係ありません。砂糖コーヒーもあるかもしれませんが、それでも同じ一杯のコーヒーです。したがって、順序は重要ではありませ

それでは、これらの概念を詳しく見ていきましょう。

パート1:順列

繰り返しが許可されている順列

あなたが新しい電話を手に入れたと想像してください。この新しい電話を使い始めると、ある時点でパスワードを設定するように求められます。

クローズアップして個人

パスワードは4桁で構成されている必要があります。任意の4桁。そして、それらは繰り返されるかもしれません。

そもそも全部で10桁あります。0、1、2、3、4、5、6、7、8、9です。したがって、パスワードの最初の桁には10の選択肢があります。

同じ桁を再度使用できるため、パスワードの2桁目の選択肢は再び10になります。したがって、これまでのところ2桁のパスワードを選択すると、順列は10 x 10 つまり10 x 10 = 100または102になります。

パスワードの3桁目についても同じことが言えます。同じ10の選択肢から再び選択することができます。この時間は、あなたが持っているだろう10倍10倍10、または10×10×10 =千または103順列を。

最後に、から選択するパスワードの4桁目と同じ10桁のために、私たちは、で終わる10倍10倍10倍10、または10×10×10×10 =万または104順列。

お気づきかもしれませんが、4つの選択肢があり、10を4倍(10 x 10 x 10 x 10)にして、順列の総数(10,000)に到達しました。パスワードに3桁を選択する必要がある場合は、10を3倍します。7の場合、7回実行します。

しかし、人生は数字を使って選択できるパスワードだけではありません。誕生日パーティーがあり、利用可能な20色から5色の風船を選択する必要がある場合はどうなりますか?

20種類の色から選択でき、同じ色を再度選択できるため、バルーンごとに20種類の選択肢があります。第1のバルーンは、20第2のバルーンは、20〜20倍、または20×20 = 400あなたが得る第五バルーン用など20×20×20×20×20 = 3,200,000または205順列を。

一般的なルールで要約しましょう:順序が重要で繰り返しが許可されている場合、nが選択するものの数(バルーン、数字など)であり、それらのrを選択する場合(パーティー用に5つのバルーン、パスワード用に4桁)など)、順列の数はP = nrに等しくなります。

繰り返しが許可されていない順列

次に、繰り返しが許可されていない場合を考えてみましょう。例として、私たちは太陽系の惑星を見ていきます。

これらの8つの惑星をいくつの異なる方法で配置できますか?惑星は、水星金星地球火星木星土星天王星海王星です。たとえば、マーキュリーを選択した後は、再度選択することはできません。したがって、惑星が選択されるたびに、利用可能な選択肢の数を減らす必要があります。

最初の選択肢には8つの可能性があります。2番目の選択肢は、リストに1つの惑星が残るまで、8マイナス1が7の可能性、次に6、次に5、次に4になります。

前のシナリオのロジックに従うと、順列の総数は次のようになります:P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40,320

言い換えると、これは整数8とその下のすべての正の整数の積です。この製品は階乗と呼ばれ、次のように感嘆符で示されます:8!

順列の数はP = 8に等しいまたはより一般的にはP = n!

たとえば、これらの8つの惑星すべてではなく5つだけを配置する必要がある場合はどうなりますか?次に、メソッドの最初の5つのステップのみを実行します。つまり、P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6,720は、8つのうち5つの惑星を配置できる方法の数になります。

しかし、なぜここで停止するのですか?より一般的な式を考え出すために私たちの論理を適用してみませんか?上記の表記を任意の数のオブジェクトで覚えやすくするために、トリックを使用します。分数では、分子と分母の両方に同じ数(ゼロを除く)を掛けても、その分数には影響しません。したがって:

n = 8から選択する惑星の数、r = 5を選択します。上記の式に数値を代入すると、P = 8になります。/(8-5)!= 8!/ 3!8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6,720と同じです。

ここから、前の例の結果を導き出すことができます。そこには、すべての配置された8のうち8可能な惑星を。新しい式を使用すると、P = 8!/(8-8)!= 8!/ 0!。以来の階乗ゼロに合意さ等しい1P = 8!/ 1 = 8!。またはより一般的に:

P = n!/(n-n)!= n!/ 0!= n!。  

よく使用される短くて便利な表記法の1つは、次のとおりです。P(n、r)= n!/(n-r)!

数式を覚えておくことが重要です。しかし、現実の問題を解決するためにより重要なことは、それぞれの状況でどの式を使用するかを知ることです。練習が役立ちます。

ポップクイズ:

トーナメントが始まり、6つのチームが競い合っています。1位は金メダル、2位は銀メダルを獲得します。これらのチームにメダルを授与する方法はいくつありますか?

1つの答えを選択してください


30
360
720
15
参加する

説明:6つのチームから選択できます。したがって、n = 6です。金と銀を合わせると、2つのメダルが授与されます。したがって、r = 2です。これらの数値を数式に代入すると、P(6、2)= 6になります。/(6-2)!= 6!/ 4!= 6 x 5 = 30

パート2。組み合わせ

繰り返しのない組み合わせ

比較をより鮮明にするために、惑星の選択の例をもう一度見てみましょう。出現順序ではなく、どの惑星が選択されているかを知りたい場合はどうなりますか?

そこでは、8つの惑星のうち5つを配置する6,720の異なる方法がありました。しかし、出現の順序は今重要ではないので、これらの方法の多くは冗長です。それらは私たちにとって同じです。

グループ金星、地球、火星、木星、土星のは同じであるグループ火星、木星、金星、地球、土星およびAS土星、火星、地球、木星、金星など。これらは同じ5つの惑星のちょうど異なるシーケンスです。

同じグループがいくつありますか?グループごとにr個の惑星を選択すると、rが得られますグループ。以下の場合、R = 5、あなたが得るRを!= 5!= 120グループ。

したがって、同じである不要なグループを排除するには、元の6,720の順列の数を5で割ります。結果は6,720 / 120 = 56です。

一般化するには、組み合わせの数に到達するために、すべての順列を把握し、すべての冗長性で割る必要があります。

短くて便利な表記法を使用する:C(n、r)= P(n、r)/ r!= n!/(r!(n-r)!)

そして、これは順序が重要でなく、繰り返しがないことを前提としてます(つまり、選択できる木星は1つだけです)。

トーナメントの例をもう一度見てみましょう。

トーナメントが始まり、6つのチームが競い合っています。1位は金メダル、2位は銀メダルを獲得します。メダル獲得者のグループはいくつ可能ですか?チームの順序は関係ありません

1つの答えを選択してください


360
15
30
720
参加する

前と同じように、6つのチームがあります。したがって、n = 6です。授与されるメダルは2つあるため、r = 2です。ただし、今回誰が金を獲得し、誰が銀を獲得するか問題ではありません。チームゴールドとチームシルバーは、チームシルバーとチームゴールドと同じです。これらの数値を数式に代入すると、C(6、2)= 6になります。/(2!(6-2)!)= 6!/ 2!4!= 15

繰り返しとの組み合わせ

この記事を完成させるために、特別な注意が必要なケースが1つあります。これまでの組み合わせでは、繰り返しはないと想定していました。2つのアイテムが同じではありませんでした。

繰り返しができるとしたらどうでしょうか?前の例のように、同じ色のバルーンを複数選択できるとしたらどうでしょうか。選択するバルーンの数がnで、同じ色を許可し、配置の順序を無視しrを選択すると、(n + r --1)になります。/(r!(n-1)!)組み合わせ

まとめると、これらの概念とその式を参照するために使用できる表があります。

この記事が、これら2つの重要な数学的概念をよりよく理解するのに役立つことを願っています。読んでくれてありがとう。